Image of point $\frac{2-\mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}$in the line $(1+\mathrm{i})\mathrm{z}+(1-\mathrm{i})\overline{\mathrm{z}}=0$is the point

$$\begin{gathered} \mathrm{substitute} \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{equation} \mathrm{of} \mathrm{line} \\ (1+\mathrm{i})\mathrm{z}+(1-\mathrm{i})\overline{\mathrm{z}}=0\Rightarrow (1+\mathrm{i})\left(\mathrm{x}+\mathrm{iy}\right)+(1-\mathrm{i})\left(\mathrm{x}-\mathrm{iy}\right)=0 \\ \mathrm{x}+\mathrm{ix}+\mathrm{iy}-\mathrm{y}+\mathrm{x}-\mathrm{ix}-\mathrm{iy}-\mathrm{y}=0\Rightarrow 2\mathrm{x}-2\mathrm{y}=0 \\ \therefore \mathrm{x}-\mathrm{y}=0 \end{gathered}$$

Point $=\frac{1-\mathrm{i}}{2}=\left(\frac{1}{2},\frac{-1}{2}\right)$, line $\equiv \mathrm{y}=\mathrm{x}$, then image $=\frac{-1+\mathrm{i}}{2}$