In $\Delta ABC$ , $\left|\overline{CB}\right|=a$ , $\left|\overline{CA}\right|=b$ , $\left|\overline{AB}\right|=c$ . $\text{CD}$ is median through the vertex $\text{c}$. Then  $\overline{CA}.\overline{CD}$ equals

Let A be origin & $\overline{AB}=\overline{b}$ , $\overline{AC}=\overline{c}$  then $\left|\overline{AB}\right|=\left|\overline{b}\right|=c$       $\left|\overline{AC}\right|=\overline{c}=b$

$\overline{CA}=-\overline{c}\&\overline{CD}=\frac{\overline{b}}{2}-\overline{c}$

$\overline{CA}.\overline{CD}=\left(-\overline{c}\right).\left(\frac{\overline{b}}{2}-\overline{c}\right)$

$={\left|\overline{c}\right|}^2-\frac{1}{2}\left(\overline{b}.\overline{c}\right)$

$={\left|\overline{c}\right|}^2-\frac{1}{2}\left|\overline{b}\right|\left|\overline{c}\right|\cos \left(\overline{b},\overline{c}\right)$

$=b^2-\frac{1}{2}bc\cos A$

$=b^2-\frac{1}{2}bc\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$

$=b^2-\frac{1}{4}\left(b^2+c^2-a^2\right)$

$=\frac{4b^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)}{4}$

$=\frac{a^2+3b^2-c^2}{4}$