In  $\Delta ABC,{\sin }^2\frac{A}{2}+{\sin }^2\frac{B}{2}+{\sin }^2\frac{C}{2}=$

$\Delta ABC,{\sin }^2\frac{A}{2}+{\sin }^2\frac{B}{2}+{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=\frac{1-\cos A}{2}+\frac{1-\cos B}{2}+\frac{1-\cos C}{2}$               $(\because {\sin }^2\frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{2})$

$=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}[\cos A+\cos B+\cos C]$

$=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}[1+4\sin \frac{A}{2}\cdot \sin \frac{B}{2}\cdot \sin \frac{C}{2}]$

$=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}[1+\frac{r}{R}]$

$=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-\frac{r}{2R}$

$=1-\frac{r}{2R}$