In an A.P, ${\mathrm{S}}_{\mathrm{p}}=\mathrm{q}$ ,   ${\mathrm{S}}_{\mathrm{q}}=\mathrm{p}$ and ${\mathrm{S}}_{\mathrm{r}}$  denotes the sum of first r terms. Then$S_{p+q}$is equal to 

${\mathrm{S}}_{\mathrm{p}}=\mathrm{q}$
$\Rightarrow \frac{\mathrm{p}}{2}\left[2\mathrm{a}+\left(\mathrm{p}-1\right)\mathrm{d}\right]=\mathrm{q}$
$\Rightarrow 2\mathrm{ap}+\left({\mathrm{p}}^2-\mathrm{p}\right)\mathrm{d}=2\mathrm{q}$
$\Rightarrow 2\mathrm{ap}+\left({\mathrm{p}}^2-\mathrm{p}\right)\mathrm{d}-2\mathrm{q}=0\to \left(\mathrm{i}\right)$
${\mathrm{S}}_{\mathrm{q}}=\mathrm{p}$
$\Rightarrow \frac{\mathrm{q}}{2}\left[2\mathrm{a}+\left(\mathrm{q}-1\right)\mathrm{d}\right]=\mathrm{p}$
$\Rightarrow 2\mathrm{aq}+\left({\mathrm{q}}^2-\mathrm{q}\right)\mathrm{d}-2\mathrm{p}=0\to \left(\mathrm{ii}\right)$
 From (i) and (ii),
$2\mathrm{ap}+\left({\mathrm{p}}^2-\mathrm{p}\right)\mathrm{d}-2\mathrm{q}=2\mathrm{aq}+\left({\mathrm{q}}^2-\mathrm{q}\right)\mathrm{d}-2\mathrm{p}$
$\Rightarrow 2\mathrm{a}\left(\mathrm{p}-\mathrm{q}\right)+\left(\mathrm{p}-\mathrm{q}\right)\left(\mathrm{p}+\mathrm{q}-1\right)\mathrm{d}=-2\left(\mathrm{p}-q\right)$
$\Rightarrow 2\mathrm{a}+\left(\mathrm{p}+\mathrm{q}-1\right)\mathrm{d}=-2\to \left(\mathrm{iii}\right)$
$\therefore {\mathrm{S}}_{\mathrm{p}+\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{p}+\mathrm{q}}{2}\left[2\mathrm{a}+\left(\mathrm{p}+\mathrm{q}-1\right)\mathrm{d}\right]$
$=\frac{\mathrm{p}+\mathrm{q}}{2}\times \left(-2\right)\mathrm{\hspace{0.17em}}\left(\mathrm{from}\mathrm{\hspace{0.17em}}\left(\mathrm{iii}\right)\right)$
$=-\left(\mathrm{p}+\mathrm{q}\right)$