In $∆\mathrm{ABC}$, with usual notation, the value of the expression $\sum _{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{nc}}_{\mathrm{r}}{\mathrm{a}}^{\mathrm{r}}{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}} \cos \left(\mathrm{rB}-(\mathrm{n}-\mathrm{r})\mathrm{A}\right)$ is

$\begin{array}{rcl} & & \sum _{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}} {}^{\mathrm{n}}{\mathrm{c}}_{\mathrm{r}} {\mathrm{a}}^{\mathrm{r}} {\mathrm{b}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}} {\mathrm{e}}^{\mathrm{i} (\mathrm{rB}-(\mathrm{n}-\mathrm{r}\left)\mathrm{A}\right)}\\ & =& \sum _{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}} {}^{\mathrm{n}}{\mathrm{c}}_{\mathrm{r}} {\left(\mathrm{a} {\mathrm{e}}^{\mathrm{i} \mathrm{b}}\right)}^{\mathrm{r}} {\left({\mathrm{be}}^{-\mathrm{iA}}\right)}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}\\ \mathrm{r}& =& 0\\ & & {\left(\mathrm{a} {\mathrm{e}}^{\mathrm{iB}}+{\mathrm{be}}^{-\mathrm{iA}}\right)}^{\mathrm{n}}\\ & =& {\left(\left(\mathrm{a} \cos \mathrm{B}+\mathrm{i} \mathrm{a} \sin \mathrm{B}\right)+\mathrm{b} \cos \mathrm{A}-\mathrm{i} \mathrm{b} \sin \mathrm{A}\right)}^{\mathrm{n}}\end{array}$

From Sine Rule

$\begin{array}{rcl} & & {\left(\mathrm{a} \cos \mathrm{B}+\mathrm{i} \cancel{\mathrm{a} \sin } \mathrm{B}+\mathrm{b} \cos \mathrm{A}-\mathrm{i} \cancel{\mathrm{a} \sin } \mathrm{A}\right)}^{\mathrm{n}}\\ & =& {(\mathrm{a} \cos \mathrm{B}+\mathrm{b} \cos \mathrm{A})}^{\mathrm{n}} ={\mathrm{c}}^{\mathrm{n}}\end{array}$