integral $\int \cos \left({\log }_{e}x\right)dx$ equals (where $C$is the constant of Integration)

 

Let $I=\int \cos \left({\log }_{e}x\right)dx$

$\begin{array}{l}\Rightarrow I=\cos \left({\log }_{e}x\right)x+\int \sin \left({\log }_{e}x\right)dx\\ \Rightarrow I=x\cos \left({\log }_{e}x\right)+\sin \left({\log }_{e}x\right)x-\int \cos \left({\log }_{e}x\right)dx\end{array}$

$\Rightarrow I=\frac{x}{2}\left[\cos \left({\log }_{e}x\right)+\sin \left({\log }_{e}x\right)\right]+C$