$\sum _{\mathrm{K}=1}^{10} \frac{(-1{)}^{\mathrm{K}-1}}{\mathrm{K}}\cdot \left({10}_{{\mathrm{C}}_{\mathrm{k}}}\right)=$

$\begin{array}{l}\sum _{\mathrm{K}=1}^{10} \frac{(-1{)}^{\mathrm{K}-1}}{\mathrm{K}}\cdot {10}_{{\mathrm{C}}_{\mathrm{k}}}{\Rightarrow }^{10}{\mathrm{C}}_1-\frac{{ }^{10}{\mathrm{C}}_2}{2}+\frac{{ }^{10}{\mathrm{C}}_3}{3}\dots \dots \dots \dots \dots \dots \frac{{ }^{10}{\mathrm{C}}_{10}}{10}=\\ \\ (1-\mathrm{x}{)}^{10}={\mathrm{C}}_0-{\mathrm{C}}_1\mathrm{x}+{\mathrm{C}}_2{\mathrm{x}}^2\dots \dots +(-{)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}\\ \\ \Rightarrow \frac{1-(1-\mathrm{x}{)}^{10}}{\mathrm{x}}={\mathrm{C}}_1-{\mathrm{C}}_2\mathrm{x}+{\mathrm{C}}_3{\mathrm{x}}^2\dots \dots \dots +(-1{)}^{\mathrm{n}-1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1};\\ \Rightarrow {\int }_0^1 \frac{1-(1-\mathrm{x}{)}^{10}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}={\left({\mathrm{C}}_1\mathrm{x}-{\mathrm{C}}_2\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+{\mathrm{C}}_3\frac{{\mathrm{x}}_3}{3}\dots ..+(-1{)}^{\mathrm{n}-1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}\right)}_0^{1}1-\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \Rightarrow {\int }_0^1 \frac{1-{\mathrm{t}}^{10}}{1-\mathrm{t}}\mathrm{dt}={\mathrm{C}}_1-\frac{{\mathrm{C}}_2}{2}+\frac{{\mathrm{C}}_3}{3}\dots ..+(-1{)}^{\mathrm{n}-1}\frac{\mathrm{cn}}{\mathrm{n}}\\ \Rightarrow {\int }_0^1\left(1+t+t^2+t^3+..+t^9\right)dt={\mathrm{C}}_1-\frac{{\mathrm{C}}_2}{2}+\frac{{\mathrm{C}}_3}{3}\dots ..+(-1{)}^{\mathrm{n}-1}\frac{\mathrm{cn}}{\mathrm{n}}\\ \Rightarrow 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots \frac{1}{10}={\mathrm{C}}_1-\frac{{\mathrm{C}}_2}{2}+\frac{{\mathrm{C}}_3}{3}\dots \dots +(-1{)}^{\mathrm{n}}\frac{{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}\end{array}$