Let the sequence $a_1,a_2,a_3\mathrm{.........}$  form an A.P. Then $a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2+\mathrm{........}+a_{2n-1}^2-a_{2n}^2=$

$a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2+\mathrm{........}+a_{2n-1}^2-a_{2n}^2$

$=\left(a_1-a_2\right)\left(a_1+a_2\right)+\left(a_3-a_4\right)\left(a_3+a_4\right)+\mathrm{.............}+\left(a_{2n-1}-a_{2n}\right)\left(a_{2n-1}+a_{2n}\right)$

$=-d\left[a_1+a_2+\mathrm{...}+a_{2n}\right]$

$=-d\frac{2n}{2}\left[a_1+a_{2n}\right]$

$=-\frac{dn\left[a_1^2-a_{2n}^2\right]}{a_1-a_{2n}}=\frac{-nd\left(a_1^2-a_{2n}^2\right)}{-\left(2n-1\right)d}$

$=\frac{n}{2n-1}\left(a_1^2-a_{2n}^2\right)$