Let a function f defined by f(x)= $\frac{x-\left|x\right|}{x}$ for x$\ne$0 and f (0) = 2. then f is

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}-\left|\mathrm{x}\right|}{\mathrm{x}}\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=1-\frac{\left|\mathrm{x}\right|}{\mathrm{x}}, \mathrm{f}\left(0\right)=2 \\ \mathrm{At} \mathrm{x}=0 \\ \mathrm{RHL}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\left(1-\frac{\left|\mathrm{x}\right|}{\mathrm{x}}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }1-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}}=0 \\ \mathrm{LHL}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }1-\frac{\left|\mathrm{x}\right|}{\mathrm{x}}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }1-\frac{(-\mathrm{x})}{\mathrm{x}}=2 \\ \underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ne \underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ \therefore \mathrm{f} \mathrm{is} \mathrm{discontinuous} \mathrm{at} \mathrm{x}=0 \\ \mathrm{Option} \left(\mathrm{D}\right) \mathrm{is} \mathrm{correct} \end{gathered}$$