Let $\overline{a}=\overline{i}-2\overline{j}+\overline{k}$  ,  $\overline{b}=\overline{i}-\overline{j}+\overline{k}$  be two vectors. If   $\overline{c}$ is a vector such that $\overline{b}\times \overline{c}=\overline{b}\times \overline{a}$ , and $\overline{c}.\overline{a}=0$  then $\overline{c}.\overline{b}$  is equal to 

$\overline{b}\times \overline{c}=\overline{b}\times \overline{a}=0$

$\Rightarrow \overline{b}\times \left(\overline{c}-\overline{a}\right)=0$

$\Rightarrow \overline{b}=\lambda \left(\overline{c}-\overline{a}\right)$

$\Rightarrow \overline{a}.\overline{b}=\lambda \left(\overline{a}.\overline{c}-{\left|\overline{a}\right|}^2\right)$

$\Rightarrow 1+2+1=\lambda \left(\overline{a}.\overline{c}-6\right)$

$\Rightarrow 4=\lambda \left(\left(0\right)-6\right)$

$\Rightarrow \lambda =-\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \overline{b}=-\frac{2}{3}\left(\overline{c}-\overline{a}\right)$

$\Rightarrow 3\overline{b}=-2\overline{c}+2\overline{a}$

$2\overline{c}=2\overline{a}-3\overline{b}\Rightarrow \overline{c}=\overline{a}-\frac{3}{2}\overline{b}$

$\Rightarrow \overline{c}=\overline{i}-2\overline{j}+\overline{k}-\frac{3}{2}\left(\overline{i}-\overline{j}+\overline{k}\right)$

$=-\frac{1}{2}\overline{i}-\frac{1}{2}\overline{j}-\frac{1}{2}\overline{k}$

$\overline{c}.\overline{b}=\left(-\frac{1}{2}\right)\left(i\right)+\left(\frac{1}{2}\right).1-\frac{1}{2}$

$=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$