Let f : (0, 1) → R be the function defined as $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{n}}\text{ if }\mathrm{x}\in \left[\frac{1}{\mathrm{n}+1},\frac{1}{\mathrm{n}}\right)$ where n ∈ N. Let g : (0, 1) → R be a 
function such that ${\int }_{{\mathrm{x}}^2}^{\mathrm{x}} \sqrt{\frac{1-\mathrm{t}}{\mathrm{t}}}\mathrm{dt}<\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)<2\sqrt{\mathrm{x}}$ for all x ∈ (0, 1). Then $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{n}},\mathrm{x}\in \left[\frac{1}{\mathrm{n}+1},\frac{1}{\mathrm{n}}\right) \\ \begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{n}+1}\le \mathrm{x}<\frac{1}{\mathrm{n}}\Rightarrow \mathrm{n}+1\ge \frac{1}{\mathrm{x}}>\mathrm{n}\\ \Rightarrow \mathrm{n}\ge \frac{1}{\mathrm{x}}-1\text{ and }\mathrm{n}<\frac{1}{\mathrm{x}}\Rightarrow \sqrt{\mathrm{n}}\ge \sqrt{\frac{1}{\mathrm{x}}-1}\text{ and }\sqrt{\mathrm{n}}<\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}}\\ \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\\ {\int }_{{\mathrm{x}}^2}^{\mathrm{x}} \sqrt{\frac{1-\mathrm{t}}{\mathrm{t}}}\mathrm{dt}<\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)<2\sqrt{\mathrm{x}}\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\int }_{{\mathrm{x}}^2}^{\mathrm{x}} \sqrt{\frac{1-\mathrm{t}}{\mathrm{t}}}\mathrm{dt}<\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)<\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\left(2\sqrt{\mathrm{x}}\right)\\ \Rightarrow \left({\int }_{{\mathrm{x}}^2}^{\mathrm{x}} \sqrt{\frac{1-\mathrm{t}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}}\right)\left(\sqrt{\frac{1}{\mathrm{x}}-1}\right)<\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)<\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}}\left(2\sqrt{\mathrm{x}}\right)\\ \Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \left({\int }_{{\mathrm{x}}^2}^{\mathrm{x}} \sqrt{\frac{1-\mathrm{t}}{\mathrm{t}}}\mathrm{dt}\right)\left(\sqrt{\frac{1}{\mathrm{x}}-1}\right)<\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)<\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} 2\\ \begin{array}{l}\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \left[\frac{\left[\sqrt{\mathrm{x}(1-\mathrm{x})}-\mathrm{x}\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}+{\sin }^{-1}\sqrt{\mathrm{x}}-{\sin }^{-1}\left(\mathrm{x}\right)\right]\sqrt{(1-\mathrm{x})}}{\sqrt{\mathrm{x}}}\right]<\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)<2\\ \Rightarrow (1-0+1-0)<\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)<2\\ \Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=2\end{array}\end{array} \end{gathered}$$