Let f be a function defined by $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}-5}{\mathrm{x}-3}, \mathrm{x}\ne 3, 2 {\mathrm{f}}^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{x}\right)$ denote the composition of f with itself taken k time i.e ${\mathrm{f}}^3\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right)$then

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{x-5}{x-3}\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\frac{2\mathrm{x}-5}{\mathrm{x}-2}; \\ Let g\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\frac{2\mathrm{x}-5}{\mathrm{x}-2}; \mathrm{is} \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{form} \mathrm{of}\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{cx}-\mathrm{a}} \\ \mathrm{g}\left(\mathrm{g}\right(\mathrm{x}\left)\right)=\mathrm{x} \Rightarrow {\mathrm{f}}^{4\mathrm{k}}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x} \mathrm{and} {\mathrm{f}}^{4\mathrm{k}+1}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ \therefore {\mathrm{f}}^{2012}\left(x\right)=x\Rightarrow {\mathrm{f}}^{2012}\left(2009\right)=2009 \mathrm{and} {\mathrm{f}}^{2012}\left(2012\right)=2012 \\ {\mathrm{f}}^{2009}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\Rightarrow {\mathrm{f}}^{2009}\left(2009\right)=\frac{2009-5}{2009-3}=\frac{2004}{2006}=\frac{1002}{1003} \\ {\mathrm{f}}^{2009}\left(2010\right)=\frac{2010-5}{2010-3}=\frac{2005}{2007} \end{gathered}$$