Let $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\int }_0^1 |\mathrm{t}-\mathrm{x}|\mathrm{dt}$ then

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}{\int }_0^1 (\mathrm{t}-\mathrm{x})\mathrm{dt}\mathrm{x}\le 0\\ {\int }_0^{\mathrm{x}} (\mathrm{x}-\mathrm{t})\mathrm{dt}+{\int }_{\mathrm{x}}^1 (\mathrm{t}-\mathrm{x})\mathrm{dt}0<\mathrm{x}<1\\ {\int }_0^1 (\mathrm{x}-\mathrm{t})\mathrm{dt}\mathrm{x}\ge 1\end{array}\right. \\ =\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}-\mathrm{x}\mathrm{x}\le 0\\ \frac{1}{2}-\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^{2}0<\mathrm{x}<1\\ \mathrm{x}-\frac{1}{2}\mathrm{x}\ge 1\end{array}\right. \\ \mathrm{Which} \mathrm{is} \mathrm{continuous} \mathrm{and} \mathrm{differentiable} \mathrm{for} \mathrm{all} \mathrm{x}. \end{gathered}$$