Let  $f\left(x\right)$  be a function on R  satisfying $f\left(x\right)=f(1-x)$ for all $x\in R.$ Then ${\int }_{-1/2}^{1/2} f\left(x+\frac{1}{2}\right)\sin x dx$   equals 

 

Let $g \left(x\right)=f\left(x+\frac{1}{2}\right)\sin x$ Then,

$g(-x)=f\left(-x+\frac{1}{2}\right)\sin (-x)$                             [Using  $f\left(x\right)=f(1-x)]$

$\begin{array}{l}\Rightarrow g(-x)=-f\left(x+\frac{1}{2}\right)\sin x=-g\left(x\right)\\ \therefore {\int }_{-1/2}^{1/2} f\left(x+\frac{1}{2}\right)\sin xdx=0\end{array}$