Let f(x) be a function satisfying $f\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$ and f(0) = 2. Then ${\displaystyle \int \frac{f\left(x\right)}{3+4f\left(x\right)}}dx=$

$f\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$    $\Rightarrow f\left(x\right)=k{e}^x$   $f\left(0\right)=2\Rightarrow k=2$ 

$f\left(x\right)=2e^x$       

  ${\displaystyle \int \frac{f\left(x\right)}{3+4f\left(x\right)}}dx={\displaystyle \int \frac{2e^x}{3+4.2e^x}dx}$             Let $t=3+8e^x$ $\Rightarrow$$dt=8e^{x}dx\Rightarrow$    $2e^{x}dx=\frac{dt}{4}$       

                              $=\frac{1}{4}{\displaystyle \int \frac{dt}{t}}$          

                             $=\frac{1}{4}\log \left|t\right|+c$