Let f(x)=$\frac{x\left(1+a\cos x\right)-b\sin x}{x^3},x\ne 0$ and f (0) = 1, then values of ‘a’ and ‘b’ so that ‘f’ is continuous are

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}\left(1+\mathrm{a} \cos \mathrm{x}\right)-\mathrm{b} \sin \mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3}, \mathrm{f}\left(0\right)=1$

F is continuous $\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(0\right)=1$

$\therefore \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{x}\left(1+\mathrm{a} \cos \mathrm{x}\right)-\mathrm{b} \sin \mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3}=1$

Using LHOSPITAL Rule

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\left(1+\mathrm{a} \cos \mathrm{x}\right)-\mathrm{x} \mathrm{a} \sin \mathrm{x}-\mathrm{b} \cos \mathrm{x}}{3{\mathrm{x}}^2}=\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{1+\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right) \cos \mathrm{x}-\mathrm{x} \mathrm{a} \sin \mathrm{x}}{3{\mathrm{x}}^2} \\ \mathrm{Limit} \mathrm{exists} \Rightarrow 1+\mathrm{a}-\mathrm{b}=0, \\ \mathrm{Applying} \mathrm{LHOSPITAL} \mathrm{Rule} \\ \Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{-\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right) \sin \mathrm{x}-\mathrm{a} \mathrm{x} \cos \mathrm{x}-\mathrm{a} \sin \mathrm{x}}{6\mathrm{x}} \\ \Rightarrow \frac{1}{6}\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\left(\left(\mathrm{b}-2\mathrm{a}\right) \frac{\sin \mathrm{x}}{\mathrm{x}}-\mathrm{a} \cos \mathrm{x}\right)=1 \\ \frac{1}{6}\left(\mathrm{b}-3\mathrm{a}\right)=1 \therefore \mathrm{b}-3\mathrm{a}=6 \\ \mathrm{Solving} \mathrm{a}-\mathrm{b}=1 \mathrm{and} \mathrm{b}-3\mathrm{a}=6 \\ \mathrm{we} \mathrm{get} \mathrm{a}=-5/2, \mathrm{b}=-3/2 \\ \mathrm{Option} \left(\mathrm{C}\right) \mathrm{is} \mathrm{correct} \end{gathered}$$