Let $\mathrm{I}\left(\mathrm{x}\right)=\int \frac{{\mathrm{x}}^2\left({\mathrm{xsec}}^2\mathrm{x}+\mathrm{tanx}\right)}{(\mathrm{xtanx}+1{)}^2}\mathrm{dx}.\text{ If }\mathrm{I}\left(0\right)=0$. then $\mathrm{I}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$ is equal to

$\mathrm{I}\left(\mathrm{x}\right)=\int \frac{{\mathrm{x}}^2\left({\mathrm{xsec}}^2\mathrm{x}+\mathrm{tanx}\right)}{(\mathrm{xtanx}+1{)}^2}\mathrm{dx}$

$={\mathrm{x}}^2\int \frac{\left({\mathrm{xsec}}^2\mathrm{x}+\mathrm{tanx}\right)}{(\mathrm{xtanx}+1{)}^2}\mathrm{dx}-2\int \left(\mathrm{x}\right)\left(\int \frac{{\mathrm{xsec}}^2\mathrm{x}+\mathrm{tanx}}{(\mathrm{xtanx}+1{)}^2}\mathrm{dx}\right)\mathrm{dx}$

$=\frac{{\mathrm{x}}^2(-1)}{(\mathrm{xtanx}+1)}+2\int \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{xtanx}+1}\mathrm{dx}$

$=\frac{-{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{xtanx}+1}+2\int \frac{\mathrm{xcosx}}{\mathrm{xsinx}+\mathrm{cosx}}\mathrm{dx}=\frac{-{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{xtanx}+1}+2\ln (\mathrm{xsinx}+\mathrm{cosx})$

$\mathrm{I}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{-{\mathrm{\pi }}^2}{4(\mathrm{\pi }+4)}+2\ln \left(\frac{\mathrm{\pi }+4}{4\sqrt{2}}\right) =\frac{-{\mathrm{\pi }}^2}{4(\mathrm{\pi }+4)}+\ln \left(\frac{(\mathrm{\pi }+4{)}^2}{32}\right)$