Let  $\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{{\mathrm{n}}^3(\left(2\mathrm{n}\right)!)+(2\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}!)}{(\mathrm{n}!)(\left(2\mathrm{n}\right)!)}=\mathrm{ae}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{e}}+\mathrm{c},$  where $\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\in \mathrm{Z} \mathrm{and} \mathrm{e}=$$\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mathrm{n}!}$$\mathrm{Then} {\mathrm{a}}^2-\mathrm{b}+\mathrm{c} \mathrm{is} \mathrm{equal} \mathrm{to}$  _______.

$\sum (\frac{{\mathrm{n}}^3}{\mathrm{n}!}+\frac{2\mathrm{n}-1}{\left(2\mathrm{n}\right)!})$

$=\sum \frac{{\mathrm{n}}^2}{(\mathrm{n}-1)!}+\sum \frac{1}{(2\mathrm{n}-1)!}-\sum \frac{1}{\left(2\mathrm{n}\right)!}\to \left(1\right)$
$\mathrm{Consider}\mathrm{\sum }\frac{{\mathrm{n}}^2}{(\mathrm{n}-1)!}=\sum \frac{(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}+1)+1}{(\mathrm{n}-1)!}$
$=\sum \frac{1}{(\mathrm{n}-3)!}+3\sum \frac{1}{(\mathrm{n}-2)!}+\sum \frac{1}{(\mathrm{n}-1)!}$
=e+3e+e=5e

$\mathrm{e}+\frac{1}{\mathrm{e}}=(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+.......)+(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+.......)$

$e+\frac{1}{e}=2(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{6!}+.......)=2\sum \frac{1}{\left(2\mathrm{n}\right)!}$

$\mathrm{e}-\frac{1}{\mathrm{e}}=2(\frac{1}{1!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+.......)=2\sum \frac{1}{(2\mathrm{n}-1)!}$

$\mathrm{using} \mathrm{in} \left(1\right)\Rightarrow 5\mathrm{e}+\frac{\mathrm{e}-\frac{1}{\mathrm{e}}}{2}-\frac{\mathrm{e}+\frac{1}{\mathrm{e}}}{2}$

$5\mathrm{e}-\frac{1}{2\mathrm{e}}-\frac{1}{2\mathrm{e}}=5\mathrm{e}-\frac{1}{\mathrm{e}}=\mathrm{ae}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{e}}+\mathrm{c}$
${\mathrm{a}}^2-\mathrm{b}+\mathrm{c}=25+1=26$