Let $\mathrm{p}=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \frac{\ln \left(\cos 2\mathrm{x}\right)}{3{\mathrm{x}}^2},\mathrm{q}=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \frac{{\sin }^{2}2\mathrm{x}}{\mathrm{x}\left(1-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)}$ and $\mathrm{r}=\underset{\mathrm{x}\to 1}{lim} \frac{\sqrt{\mathrm{x}}-\mathrm{x}}{\ln \mathrm{x}}$ Then p, e, r satisfy

Clearly,

$\begin{array}{l}\mathrm{p}=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \frac{\ln (1+\cos 2\mathrm{x}-1)}{3{\mathrm{x}}^2}\\ =\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \frac{\ln (1+\cos 2\mathrm{x}-1)}{(\cos 2\mathrm{x}-1)}\cdot \frac{\cos 2\mathrm{x}-1}{3{\mathrm{x}}^2}=-\frac{2}{3}\\ \mathrm{q}=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \frac{{\sin }^{2}2\mathrm{x}}{4{\mathrm{x}}^2}\cdot \frac{4{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{x}\left(1-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)}=-4\\ \mathrm{and} \mathrm{r}=\underset{\mathrm{x}\to 1}{lim} \frac{\sqrt{\mathrm{x}}-\mathrm{x}}{\ln (1+\mathrm{x}-1)}=\underset{\mathrm{x}\to 1}{lim} \frac{\sqrt{\mathrm{x}}(1-\sqrt{\mathrm{x}})}{\ln \left(\frac{1+\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}-1}\right)\cdot (\mathrm{x}-1)}\\ =\underset{\mathrm{x}\to 1}{lim} \frac{\sqrt{\mathrm{x}}(1-\mathrm{x})}{\ln \left(\frac{1+(\mathrm{x}-1)}{\mathrm{x}-1}\right)\cdot (\mathrm{x}-1)(1+\sqrt{\mathrm{x}})}=-\frac{1}{2}\end{array}$

Hence, q < p < r