Let R and S be two equivalence relations on a set A. Then

Given, R and S are relations on set A.

$\therefore \mathrm{R}\subseteq \mathrm{A}\times \mathrm{A}$ and $\mathrm{S}\subseteq \mathrm{A}\times \mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{R}\cap \mathrm{C}\subseteq \mathrm{A}\times \mathrm{A}$

$\Rightarrow \mathrm{R}\cap \mathrm{S}$ is also a relation on A.

Reflexivity: Let a be an arbitrary element of A. Then, 

$\mathrm{a}\in \mathrm{A}\Rightarrow (\mathrm{a}, \mathrm{a})\in \mathrm{R} \mathrm{and} (\mathrm{a}, \mathrm{a})\in \mathrm{S},$

$[\because \mathrm{R} \mathrm{and} \mathrm{S} \mathrm{are} \mathrm{reflexive}]$

$\Rightarrow (\mathrm{a}, \mathrm{a})\in \mathrm{R}\cap \mathrm{S}$

Thus, (a, a)$\in \mathrm{R}\cap \mathrm{S}$ for all $\mathrm{a}\in \mathrm{A}.$

So, $\mathrm{R}\cap \mathrm{S}$ is a reflexive relation on A.

Symmetry: Let $\mathrm{a}, \mathrm{b}\in \mathrm{A}$ such that $(\mathrm{a}, \mathrm{b})\in \mathrm{R}\cap \mathrm{S}.$

Then, $(\mathrm{a}, \mathrm{b})\in \mathrm{R}\cap \mathrm{S}\Rightarrow (\mathrm{a},\mathrm{b})\in \mathrm{R} \mathrm{and} (\mathrm{a}, \mathrm{b})\in \mathrm{S}$

$\Rightarrow (\mathrm{b}, \mathrm{a})\in \mathrm{R} \mathrm{and} (\mathrm{b}, \mathrm{a})\in \mathrm{S},$

$[\because \mathrm{R} \mathrm{and} \mathrm{S} \mathrm{are} \mathrm{symmetric}]$

$\Rightarrow (\mathrm{b}, \mathrm{a})\in \mathrm{R}\cap \mathrm{S}$

Thus, $(\mathrm{a}, \mathrm{b})\in \mathrm{R}\cap \mathrm{S}$

$\Rightarrow (\mathrm{b}, \mathrm{a})\in \mathrm{R}\cap \mathrm{S}$ for all $(\mathrm{a}, \mathrm{b})\in \mathrm{R}\cap \mathrm{S}.$

So, $\mathrm{R}\cap \mathrm{S}$ is symmetric on A.

Transitivity: Let $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\in \mathrm{A}$ such that $(\mathrm{a}, \mathrm{b})\in \mathrm{R}\cap \mathrm{S}$

and $(\mathrm{b}, \mathrm{c})\in \mathrm{R}\cap \mathrm{S}$. Then, $(\mathrm{a}, \mathrm{b})\in \mathrm{R}\cap \mathrm{S}$ and

$(\mathrm{b},\mathrm{c})\in \mathrm{R}\cap \mathrm{S}$

$\Rightarrow \left\{\left(\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{R} \mathrm{and} \left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in \mathrm{S}\right)\right\}$

and $\left\{\left(\left(\mathrm{b},\mathrm{c}\right)\in \mathrm{R} \mathrm{and} \left(\mathrm{b},\mathrm{c}\right)\in \mathrm{S}\right)\right\}$

$\Rightarrow \left\{\left(\mathrm{a}, \mathrm{b}\right)\in \mathrm{R}, \left(\mathrm{b}, \mathrm{c}\right)\in \mathrm{R}\right\} \mathrm{and} \left\{\left(\mathrm{a}, \mathrm{b}\right)\in \mathrm{S}, \left(\mathrm{b}, \mathrm{c}\right)\in \mathrm{S}\right\}$

$\Rightarrow \left(\mathrm{a}, \mathrm{c}\right)\in \mathrm{R} \mathrm{and} \left(\mathrm{a}, \mathrm{c}\right)\in \mathrm{S}$

$$\begin{gathered} \because \mathrm{R} \mathrm{and} \mathrm{S} \mathrm{are} \mathrm{transitive} \mathrm{So} \\ \left(\mathrm{a}, \mathrm{b}\right)\in \mathrm{R} \mathrm{and} \left(\mathrm{b}, \mathrm{c}\right)\in \mathrm{R}\Rightarrow (\mathrm{a}, \mathrm{c})\in \mathrm{R} \\ (\mathrm{a}, \mathrm{b})\in \mathrm{S} \mathrm{and} (\mathrm{b}, \mathrm{c})\in \mathrm{S}\Rightarrow (\mathrm{a}, \mathrm{c})\in \mathrm{S} \end{gathered}$$

$\Rightarrow (\mathrm{a}, \mathrm{c})\in \mathrm{R}\cap \mathrm{S}$

Thus, $(\mathrm{a},\mathrm{b})\in \mathrm{R}\cap \mathrm{S} \mathrm{and} (\mathrm{b}, \mathrm{c})\in \mathrm{R}\cap \mathrm{S}\Rightarrow (\mathrm{a},\mathrm{c})\in \mathrm{R}\cap \mathrm{S},$

So, $\mathrm{R}\cap \mathrm{S}$ is transitive on A.

Hence, R is an equivalence relation on A.