Let $\mathrm{S}=\left\{\mathrm{z}\in \mathrm{C}:\overline{\mathrm{z}}=\mathrm{i}\left({\mathrm{z}}^2+\mathrm{Re}\left(\overline{\mathrm{z}}\right)\right)\right\}.$ Then $\sum _{\mathrm{z}\in \mathrm{S}} |\mathrm{z}{|}^2$ is equal to

Let z = x + iy
$$\begin{gathered} \overline{\mathrm{z}}=\mathrm{i}\left({\mathrm{z}}^2+\mathrm{Re}\left(\overline{\mathrm{z}}\right)\right) \\ \mathrm{x}-\mathrm{iy}=\mathrm{i}\left({\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{ixy}+\mathrm{x}\right) \\ \begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{x}=-2\mathrm{xy}\text{ and }{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2+\mathrm{x}+\mathrm{y}=0\\ \Rightarrow \mathrm{x}=0\text{ or }\mathrm{y}=-1/2\\ \text{ If }\mathrm{x}=0;{\mathrm{y}}^2-\mathrm{y}=0\Rightarrow \mathrm{y}(\mathrm{y}-1)=0\Rightarrow \mathrm{y}=0,1\\ \text{ If }\mathrm{y}=-1/2;{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-3/4=0\Rightarrow 4{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-3=0\\ \Rightarrow (2\mathrm{x}-1)(2\mathrm{x}+3)=0\Rightarrow \mathrm{x}=-3/2,1/2\\ \mathrm{z}=0;\mathrm{i},\frac{1}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2},\frac{-3}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2}\end{array} \end{gathered}$$
sum of $|\mathrm{z}{|}^2=0+1+\frac{1}{2}+\frac{10}{4}=\frac{16}{4}=4$