Let the line x–8y+K = 0, $K\in \mathrm{I}$ meets the rectangular hyperbola xy = 1 at the points whose abscissae are integers then the number of such lines is

$$\begin{gathered} \mathrm{Given} \mathrm{hyperbola} \mathrm{xy}=1 \\ \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{1}{\mathrm{x}} \\ \mathrm{let} \mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \mathrm{be} \mathrm{the} \mathrm{point} \mathrm{where} \mathrm{the} \mathrm{normal} \mathrm{x}-8\mathrm{y}+\mathrm{K}=0 \mathrm{meets} \mathrm{the} \mathrm{hyperbola} \\ \Rightarrow \mathrm{x}-8\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{K}=0 \\ \Rightarrow \mathrm{K}=\frac{8}{\mathrm{x}}-\mathrm{x} \mathrm{where} \mathrm{K}\in \mathrm{I} \\ Since K\in I then x should be \mathrm{x}=\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \\ \mathrm{If} \mathrm{x}=1 \mathrm{then} \mathrm{K}=7, \mathrm{If} \mathrm{x}=-1 \mathrm{then} \mathrm{K}=-7 \\ \mathrm{If} \mathrm{x}=2 \mathrm{then} \mathrm{K}=2, \mathrm{If} \mathrm{x}=-2 \mathrm{then} \mathrm{K}=-2 \\ \mathrm{If} \mathrm{x}=4 \mathrm{then} \mathrm{K}=-2, \mathrm{If} \mathrm{x}=-4 \mathrm{then} \mathrm{K}=2 \\ \mathrm{If} \mathrm{x}=8 \mathrm{then} \mathrm{K}=-7, \mathrm{If} \mathrm{x}=-8 \mathrm{then} \mathrm{K}=7 \\ \mathrm{Here} K=-7, -2, 2, 7 \\ \Rightarrow \mathrm{K} \mathrm{has} \mathrm{four} \mathrm{values} \\ \therefore \mathrm{four} \mathrm{lines} \mathrm{exist} \end{gathered}$$