Let the lines $\left(2 -\mathrm{i}\right)\mathrm{z} = \left(2 + \mathrm{i}\right) \overline{z} \mathrm{and} \left(2 + \mathrm{i}\right)\mathrm{z} + \left(\mathrm{i} - 2\right)\overline{z} - 4\mathrm{i} = 0,$(here ${\mathrm{i}}^2 = -1$)

 be normal to a circle C. If the line $\mathrm{iz} + \overline{\mathrm{z}} + 1 + \mathrm{i} = 0$ is tangent to this circle C, then its radius is:

$$\begin{gathered} (\mathrm{z}-\mathrm{i})\mathrm{ }\mathrm{z}=(2+\mathrm{i})\stackrel{\mathrm{‾}}{\mathrm{z}}\Rightarrow (2-\mathrm{i})(\mathrm{x}+\mathrm{iy})=(2+\mathrm{i})(\mathrm{x}-\mathrm{iy}) \\ \Rightarrow 2\mathrm{x}+2\mathrm{iy}-\mathrm{ix}+\mathrm{y}=2\mathrm{x}+\mathrm{y}-2\mathrm{iy}+\mathrm{ix} \\ \Rightarrow 2\mathrm{i}(\mathrm{x}-2\mathrm{y})=0\Rightarrow \boxed{\mathrm{x}-2\mathrm{y}=0} \mathrm{is} \mathrm{normal} \\ and (2+\mathrm{i})\mathrm{z}+(\mathrm{i}-2)\overline{z}-4\mathrm{i}=0 \\ \Rightarrow (2+\mathrm{i})(\mathrm{x}+\mathrm{iy})+(\mathrm{i}-2)(\mathrm{x}-\mathrm{iy})-4\mathrm{i}=0 \\ \Rightarrow 2\mathrm{x}+\mathrm{i}2\mathrm{y}+\mathrm{ix}-\mathrm{y}+\mathrm{ix}+\mathrm{y}-2\mathrm{x}+2\mathrm{iy}-4\mathrm{i}=0 \\ \mathrm{i}(2\mathrm{x}+4\mathrm{y}-4)=0\Rightarrow \boxed{\mathrm{x}+2\mathrm{y}-2=0} \mathrm{is} \mathrm{also} \mathrm{a} \mathrm{normal} \mathrm{to} \mathrm{the} \mathrm{circle} \\ \text{ solving }\mathrm{x}-2\mathrm{y}=0,\mathrm{x}+2\mathrm{y}-2=0\Rightarrow \boxed{\text{cente }\left(1,\frac{1}{2}\right)} \\ \mathrm{iz}+\overline{z}+1+\mathrm{i}=0\Rightarrow \mathrm{i}(\mathrm{x}+\mathrm{iy})+\mathrm{x}-\mathrm{iy}+1+\mathrm{i}=0 \\ \mathrm{ }\therefore (\mathrm{x}-\mathrm{y}+1)+\mathrm{i}(\mathrm{x}-\mathrm{y}+1)=0\Rightarrow \end{gathered}$$$\mathrm{x}-\mathrm{y}+1=0 \mathrm{is} \mathrm{tangent}: \mathrm{r}=\perp \mathrm{r} \mathrm{distance} from \left(1,\frac{1}{2}\right)$

$$\begin{gathered} \mathrm{r}=\left|\frac{1-\frac{1}{2}+1}{\sqrt{2}}\right|=\frac{|3/2|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}} \\ \boxed{\mathrm{r}=\frac{3}{2\sqrt{2}}} \end{gathered}$$