Let the sequence, ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,{\mathrm{a}}_3,..,{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}$, form an  AP,  then ${\mathrm{a}}_1^2-{\mathrm{a}}_2^2+{\mathrm{a}}_3^2-\dots +{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}-1}^2-{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}^2$ is equal to

Since, ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,{\mathrm{a}}_3,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}$ form an AP.

$\therefore {\mathrm{a}}_2-{\mathrm{a}}_1={\mathrm{a}}_4-{\mathrm{a}}_3=\dots ={\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}-{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}-1}=\mathrm{d}$

$\mathrm{Let} \begin{array}{r}\mathrm{S}={\mathrm{a}}_1^2-{\mathrm{a}}_2^2+{\mathrm{a}}_3^2-{\mathrm{a}}_4^2+\dots +{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}-1}^2-{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}^2\\ =\left({\mathrm{a}}_1-{\mathrm{a}}_2\right)\left({\mathrm{a}}_1+{\mathrm{a}}_2\right)+\left({\mathrm{a}}_3-{\mathrm{a}}_4\right)\left({\mathrm{a}}_3+{\mathrm{a}}_4\right)\end{array}$$+\dots +\left({\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}-1}-{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}\right)\left({\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}-1}+{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}\right)$

$=-\mathrm{d}\left({\mathrm{a}}_1+{\mathrm{a}}_2+\dots +{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}\right)=-\mathrm{d}\left[\frac{2\mathrm{n}}{2}\left({\mathrm{a}}_1+{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}\right)\right]\dots \left(\mathrm{i}\right)$

Also, we know  ${\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}={\mathrm{a}}_1+(2\mathrm{n}-1)\mathrm{d}$

$\Rightarrow \mathrm{d}=\frac{{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}-{\mathrm{a}}_1}{2\mathrm{n}-1}\Rightarrow -\mathrm{d}=\frac{{\mathrm{a}}_1-{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}-1}$

On putting the value of d in Eq. (i), we get

$\mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}\left({\mathrm{a}}_1-{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}\right)\left({\mathrm{a}}_1+{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}\right)}{2\mathrm{n}-1}=\frac{\mathrm{n}}{2\mathrm{n}-1}\left({\mathrm{a}}_1^2-{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}^2\right)$