Let the solution curve $\mathrm{y}=\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)$ of the differential equation $\left(1+{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\right)\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}\right)=1$ pass through the point $\left(0,\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$. Then, $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{lim} {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)$ is equal to :

$\left(1+{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\right)\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}\right)=1\Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}$,
which is a L.D.E.
$\therefore \text{ I.F. }={\mathrm{e}}^{\int 1\mathrm{dx}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$; solution is $\mathrm{y}\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}=\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\cdot \frac{\mathrm{dx}}{1+{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}+\mathrm{c}$
Put ${\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}=\mathrm{t}\Rightarrow {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\mathrm{dt}$
$\mathrm{y}\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}=\int \frac{\mathrm{dt}}{1+{\mathrm{t}}^2}+\mathrm{c}\Rightarrow {\mathrm{ye}}^{\mathrm{x}}={\tan }^{-1}\mathrm{t}+\mathrm{c};\mathrm{y}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}{\tan }^{-1}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{ce}}^{-\mathrm{x}}$
Curve passes through$\left(0,\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$
$\begin{array}{l}\therefore \frac{\mathrm{\pi }}{2}=1\cdot {\tan }^{-1}\left(1\right)+\mathrm{c}\left(1\right)\Rightarrow \mathrm{c}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ \therefore \mathrm{y}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}{\tan }^{-1}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{\pi }}{4}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{lim} {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{lim} \left({\tan }^{-1}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\end{array}$