Let x = x(y) be the solution of the differential equation 
$2(\mathrm{y}+2){\log }_{\mathrm{e}}(\mathrm{y}+2)\mathrm{dx}+\left(\mathrm{x}+4-2{\log }_{\mathrm{e}}(\mathrm{y}+2)\right)\mathrm{dy}=0,\mathrm{y}>-1$
with $x(e^{4 }- 2) = 1$. Then $x(e^9 - 2)$ is equal to

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}2(\mathrm{y}+2){\log }_{\mathrm{e}}(\mathrm{y}+2)\mathrm{dx}+\left(\mathrm{x}+4-2{\log }_{\mathrm{e}}(\mathrm{y}+2)\right)dy=0\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}+\frac{1}{2(\mathrm{y}+2)\log (\mathrm{y}+2)}\mathrm{x}=\frac{(\log (\mathrm{y}+2)-2)}{(\mathrm{y}+2)\log (\mathrm{y}+2)} \\ I.F=e^{\int \frac{dy}{2(\mathrm{y}+2)\log (\mathrm{y}+2)}} \\ put \log \left(y+2\right)=t \\ \mathrm{IF}={\mathrm{e}}^{\int \frac{1}{2\mathrm{t}}\mathrm{dt}}=\sqrt{\mathrm{t}}=\sqrt{\log (\mathrm{y}+2)}\\ \mathrm{x}\sqrt{\log (\mathrm{y}+2)}=\int \frac{(\log (\mathrm{y}+2)-2)}{(\mathrm{y}+2)\log (\mathrm{y}+2)}\sqrt{\log (\mathrm{y}+2)}\mathrm{dy}= \\ =\int \frac{(\log (\mathrm{y}+2)-2)}{(\mathrm{y}+2)\sqrt{\log (\mathrm{y}+2)}}\mathrm{dy}=\\ =\int \frac{\mathrm{t}-2}{\sqrt{\mathrm{t}}}\mathrm{dt}. \\ =\frac{2}{3}{\mathrm{t}}^{\frac{3}{2}}-4\sqrt{\mathrm{t}}+c \\ =\frac{2}{3}(\log (\mathrm{y}+2){)}^{\frac{3}{2}}-4(\log (\mathrm{y}+2){)}^{\frac{1}{2}}+\mathrm{c}\\ \text{ if }\mathrm{x}\left({\mathrm{e}}^4-2\right)=1\text{ then }\mathrm{c}=\frac{14}{3} \\ \text{Then }\mathrm{x}\left({\mathrm{e}}^9-2\right)=\frac{32}{9}\end{array} \end{gathered}$$