Let y(x) be the solution of the differential equation $(\mathrm{x} \log \mathrm{x})\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}=2\mathrm{x} \mathrm{logx}, (\mathrm{x} \ge 1).$ Then y(e) is equal to

$\left(\mathrm{x} \log \mathrm{x}\right)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}=2\mathrm{x} \log \mathrm{x}$

dividing by x log x we get

$\begin{array}{rcl} & \Rightarrow & \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x} \log \mathrm{x}}=2\\ \mathrm{I}.\mathrm{F}& =& {\mathrm{e}}^{\int \frac{1}{\mathrm{x} \log \mathrm{x}}\mathrm{dx}}={\mathrm{e}}^{\log (\log \mathrm{x})}=\log \mathrm{x}\\ & \Rightarrow & \mathrm{d}(\mathrm{I}.\mathrm{F}.\mathrm{y})= 2\log \mathrm{x} \mathrm{dx}\\ & & \end{array}$

By integrating 

$\begin{array}{rcl} & \Rightarrow & \mathrm{y} \log \mathrm{x}=\int 2 \log \mathrm{x} \mathrm{dx}\\ & \Rightarrow & \mathrm{y} \log \mathrm{x}=2\left[\mathrm{x} \log \mathrm{x}\right]\\ \mathrm{Put} \mathrm{x}& =& 1, \mathrm{we} \mathrm{get}\\ 0& =& 2\left[1\left(0-1\right)\right]+\mathrm{c}\\ \mathrm{c}& =& 2\\ & \to & \mathrm{y} \log \mathrm{x}=2\left[\mathrm{x}(\log \mathrm{x})\right]\\ & \Rightarrow & \mathrm{at} \mathrm{x}=\mathrm{e}\\ \mathrm{y}& =& 2\end{array}$