Let ${\mathrm{a}}_0,{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2\dots \dots {\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\in \mathrm{R}$ be in an arithmetic progression and let 
${\mathrm{C}}_0,{\mathrm{C}}_1,{\mathrm{C}}_2\dots \dots {\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$ be binomial coefficients. Then $\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}.{\mathrm{C}}_{\mathrm{k}}=$
 

$\begin{array}{rcl}\mathrm{S}& =& {\mathrm{a}}_0 {\mathrm{C}}_0+{\mathrm{a}}_1 {\mathrm{C}}_1+{\mathrm{a}}_2 {\mathrm{C}}_2+.....+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}} {\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}\\ \mathrm{S}& =& {\mathrm{a}}_0 {\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}+{\mathrm{a}}_1 {\mathrm{C}}_{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{a}}_2 {\mathrm{C}}_{\mathrm{n}-2}+.....+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}} {\mathrm{C}}_0\\ 2\mathrm{S}& =& \left({\mathrm{a}}_0+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\right) {\mathrm{C}}_0+\left({\mathrm{a}}_1+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-1}\right) {\mathrm{C}}_1+\left({\mathrm{a}}_2+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-2}\right) {\mathrm{C}}_2\\ & & \mathrm{Since} {\mathrm{a}}_0, {\mathrm{a}}_1, {\mathrm{a}}_2 ...... {\mathrm{a}}_{\mathrm{n}} \mathrm{are} \mathrm{in} \mathrm{A}.\mathrm{P}.\\ \therefore {\mathrm{a}}_0+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}& =& {\mathrm{a}}_1+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-1}={\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-2}=......\\ 2\mathrm{S}& =& \left({\mathrm{a}}_0+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\right) \left[{\mathrm{C}}_0+{\mathrm{C}}_1+{\mathrm{C}}_2+......{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}\right]\\ 2\mathrm{S}& =& \left[{\mathrm{a}}_0+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\right] 2^{\mathrm{n}}\\ \mathrm{S}& =& \left[{\mathrm{a}}_0+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\right] 2^{\mathrm{n}-1}\end{array}$