$$\begin{gathered} \mathrm{Let} \mathrm{A}=\left(\mathrm{\alpha }, 1, 2\mathrm{\alpha }\right), \mathrm{B}=\left(3, 1, 2\right) \mathrm{and} \\ \overline{\mathrm{C}}=4\overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+3\overline{\mathrm{k}}. \mathrm{If} \overline{\mathrm{AB}}\times \overline{\mathrm{C}}=6\overline{\mathrm{i}}+9\overline{\mathrm{j}}-5\overline{\mathrm{k}}, \\ \mathrm{then} {\mathrm{\alpha }}^2+\mathrm{\alpha }+5= \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}\overline{\mathrm{AB}}& =& (3-\mathrm{\alpha })\mathrm{i}+0\mathrm{j}+(2-2\mathrm{\alpha })\mathrm{k}\\ \overline{\mathrm{AB}}\times \overline{\mathrm{c}}& =& \left|\begin{array}{ccc}\mathrm{i}& \mathrm{j}& \mathrm{k}\\ 3-\mathrm{\alpha }& 0& 2-2\mathrm{\alpha }\\ 4& -1& 3\end{array}\right|\\ & =& \mathrm{i}(2-2\mathrm{\alpha })-\mathrm{j}(9-3\mathrm{\alpha }-8+8\mathrm{\alpha })+\mathrm{k}(\mathrm{\alpha }-3)\\ & =& (2-2\mathrm{\alpha })\mathrm{i}-\mathrm{j}(1+5\mathrm{\alpha })+\mathrm{k}(\mathrm{\alpha }-3)\\ \overline{\mathrm{AB}}\times \overline{\mathrm{C}}& =& 6\mathrm{i}+9\mathrm{j}-5\mathrm{k}\\ \overline{)2-2\mathrm{\alpha }=6 \\ 2\mathrm{\alpha }=-4 \\ \mathrm{\alpha }=-2}{\mathrm{\alpha }}^2+\mathrm{\alpha }+5& =& 4-2+5=7\end{array} \end{gathered}$$