Let $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}$ and $\overrightarrow{C}$ be vectors of length 3, 4, 5 respectively. Let $\overrightarrow{A}\perp (\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}),\overrightarrow{B}\perp (\overrightarrow{C}+\overrightarrow{A}),\overrightarrow{C}\perp (\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}).$ Then  the length of  $(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}).$ is

$\overrightarrow{A}·(\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C})=0,\overrightarrow{B}·(\overrightarrow{C}+\overrightarrow{A})=0,\overrightarrow{C}·(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})=0$

Adding $\overrightarrow{A}·\overrightarrow{B}+\overrightarrow{B}·\overrightarrow{C}+\overrightarrow{C}·\overrightarrow{A}=0$

Now, $|\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}{|}^2=(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C})·(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C})$

$=3^2+4^2+5^2+2|\overrightarrow{A}·\overrightarrow{B}+\overrightarrow{B}·\overrightarrow{C}+\overrightarrow{C}·\overrightarrow{A}|=50$

$\Rightarrow |\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}|=5\sqrt{2}.$