Let $\overline{\mathrm{a}}=\overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}, \overline{\mathrm{b}}=\overline{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{c}}=\overline{\mathrm{k}}-\overline{\mathrm{i}}.$ If $\overline{\mathrm{d}}$ is a unit vector such that $\overline{\mathrm{a}}.\overline{\mathrm{d}}=0=\left[\overline{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{c}} \overline{\mathrm{d}}\right]$ then $\overline{\mathrm{d}}$ is equals to

Let  $$\begin{gathered} \overline{\mathrm{d}}=\mathrm{xi}+\mathrm{yj}+\mathrm{zk} \Rightarrow \left|\overline{\mathrm{d}}\right|=1 \Rightarrow {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2=1 \\ \overline{\mathrm{a}}·\overline{\mathrm{d}}=0 \Rightarrow \mathrm{x}-\mathrm{y}=0 \Rightarrow \mathrm{x}=\mathrm{y} \\ [\overline{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{c}} \overline{\mathrm{d}}]=0 \Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}\mathrm{x}& \mathrm{y}& \mathrm{z}\\ 0& 1& -1\\ -1& 0& 1\end{array}\right|=0 \\ \Rightarrow \mathrm{x}(1-0)-\mathrm{y}(0-10+\mathrm{z}(0+1)=0 \Rightarrow \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0 \\ \mathrm{z}=-2\mathrm{y} \\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2=1 \Rightarrow {\mathrm{y}}^2+{\mathrm{y}}^2+4{\mathrm{y}}^2=1 \Rightarrow \mathrm{y}=\pm \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{6}$}\right. \\ d=\pm \frac{1}{\sqrt{6}} (\mathrm{i}+\mathrm{j}-2\mathrm{k}) \end{gathered}$$