$\mathrm{Let} \overline{\mathrm{a}} +\mathrm{m}\overline{\mathrm{b}} +\mathrm{n}\overline{\mathrm{c}} =\overline{0} . \overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}} +\overline{\mathrm{b}}\times \overline{\mathrm{c}}+\overline{\mathrm{c}}\times \overline{\mathrm{a}}=\overline{0} \mathrm{for}$

$\begin{array}{rcl}\overline{\mathrm{a}}+\mathrm{m}\overline{\mathrm{b}}+\mathrm{n}\overline{\mathrm{c}}& =& 0\\ \overline{\mathrm{a}}\times (\overline{\mathrm{a}}+\mathrm{m}\overline{\mathrm{b}}+\mathrm{n}\overline{\mathrm{c}})& =& 0 \Rightarrow \mathrm{m}(\overline{\mathrm{a}}\times \overline{\mathrm{b}})=\mathrm{n} (\overline{\mathrm{c}}\times \overline{\mathrm{a}})\\ \overline{\mathrm{b}}\times (\overline{\mathrm{a}}+\mathrm{m}\overline{\mathrm{b}}+\mathrm{n}\overline{\mathrm{c}})& =& 0 \Rightarrow \mathrm{n}(\overline{\mathrm{b}}\times \overline{\mathrm{c}})=\overline{\mathrm{a}}\times \overline{\mathrm{b}}\end{array}$

given $\overline{\mathrm{a}}\times \overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{b}}\times \overline{\mathrm{c}}+\overline{\mathrm{c}}\times \overline{\mathrm{a}}=0$

$\begin{array}{rcl}\mathrm{n}(\overline{\mathrm{b}}\times \overline{\mathrm{c}})+\overline{\mathrm{b}}\times \overline{\mathrm{c}}+\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}\left(\mathrm{n}\right(\overline{\mathrm{b}}\times \overline{\mathrm{c}}\left)\right)& =& 0\\ \mathrm{n}+1+\mathrm{m}& =& 0\end{array}$