Let $a=\min \left\{x^2+2x+3,x\in R\right\}$ and $\mathrm{b}=\underset{\mathrm{\theta }\to 0}{\mathrm{Lim}}\frac{1-\mathrm{cos\theta }}{{\mathrm{\theta }}^2}.$. The value of ${\sum }_{r=0}^n a^r\cdot b^{n-r}$

$$\begin{gathered} \mathrm{a}=\min \left\{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+3, \mathrm{x}\in \mathrm{R}\right\} \\ ={\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1+2 \\ ={(\mathrm{x}+1)}^2+2\ge 2 \\ \mathrm{Min} \mathrm{value} =2 \\ \mathrm{a}=2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{b}=\underset{\mathrm{\theta }\to 0}{\mathrm{Lim}}\frac{1-\mathrm{cos\theta }}{{\mathrm{\theta }}^2}=\frac{1}{2} \\ \sum _{\mathrm{r}= 0}^{\mathrm{n}} {\mathrm{a}}^{\mathrm{r}} {\mathrm{b}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}} \\ =\sum _{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}} 2^{\mathrm{r}}.2^{-\mathrm{n}+\mathrm{r}} \\ \mathrm{r}=0 \\ =\sum _{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}} 2^{2\mathrm{r}}.2^{-\mathrm{n}} \\ =2^{-\mathrm{n}} \left(1+2^2+2^4+2^6+....+2^{2\mathrm{n}}\right) \\ =2^{-\mathrm{n}}\left(\frac{1\left(2^{2(\mathrm{n}+1)-1}\right)}{2^2-1}\right) \\ =\frac{4^{\mathrm{n}+1}-1}{3.2^{\mathrm{n}}} \end{gathered}$$