Let $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{m}& \mathrm{n}\\ \mathrm{p}& \mathrm{q}\end{array}\right),\mathrm{d}=\left|\mathrm{A}\right|\ne 0 \mathrm{and} |\mathrm{A}-\mathrm{d}(\mathrm{Adj} \mathrm{A})|=0$ . Then

Here d=mq-pn
$\begin{array}{l}|\mathrm{A}-\text{d}\left(\text{Adj A}\right)|=0\\ \Rightarrow |\left(\begin{array}{cc}\mathrm{m}& \mathrm{n}\\ \mathrm{p}& \mathrm{q}\end{array}\right)-\mathrm{d}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{q}& -\mathrm{n}\\ -\mathrm{p}& \mathrm{m}\end{array}\right)|=0\\ \Rightarrow \left|\left(\begin{array}{cl}\mathrm{m}-\mathrm{dq}& \mathrm{n}+\mathrm{dn}\\ \mathrm{p}+\mathrm{dp}& \mathrm{q}-\mathrm{dm}\end{array}\right)\right|=0\\ \Rightarrow (\mathrm{m}-\mathrm{aq})(\mathrm{q}-\mathrm{dm})-\mathrm{pn}{(1+\mathrm{d})}^2=0\\ \Rightarrow \mathrm{mq}-{\mathrm{dm}}^2-{\mathrm{dq}}^2+{\mathrm{d}}^2\mathrm{qm}=\mathrm{pn}+{\mathrm{pnd}}^2+2\mathrm{pnd}\\ \Rightarrow \mathrm{d}+{\mathrm{d}}^3=\mathrm{d}({\mathrm{m}}^2+{\mathrm{q}}^2+2(\mathrm{mq}-\mathrm{d}))\\ \Rightarrow \mathrm{d}+{\mathrm{d}}^3=\mathrm{d}({\mathrm{m}}^2+{\mathrm{q}}^2+2\mathrm{mq})-2{\mathrm{d}}^2\\ \Rightarrow {\left(\text{1+d}\right)}^{\text{2}}\text{=}{\left(\text{m+q}\right)}^{\text{2}}\end{array}$