Let $\mathrm{\alpha }$ and $\mathrm{\beta }$ be real numbers. Consider a matrix A such that ${\mathrm{A}}^2=3\mathrm{A}+\mathrm{\alpha I}.\mathrm{If} {\mathrm{A}}^4=21\mathrm{A}+\mathrm{\beta I}.$then

$\begin{array}{l}{\mathrm{A}}^2=3\mathrm{A}+\mathrm{\alpha I},{\mathrm{A}}^4=21\mathrm{A}+\mathrm{BI}\\ {\mathrm{A}}^4={\mathrm{A}}^2\cdot {\mathrm{A}}^2\\ =(3\mathrm{A}+\mathrm{\alpha I})(3\mathrm{A}+\mathrm{\alpha I})\\ =9{\mathrm{A}}^2+6\mathrm{\alpha A}+{\mathrm{\alpha }}^2\mathrm{I}\\ =9(3\mathrm{A}+\mathrm{\alpha I})+6\mathrm{\alpha A}+{\mathrm{\alpha }}^2\mathrm{I}\\ =27\mathrm{A}+9\mathrm{\alpha I}+6\mathrm{\alpha A}+{\mathrm{\alpha }}^2\mathrm{I}\\ =(27+6\mathrm{\alpha })\mathrm{A}+\left(9\mathrm{\alpha }+{\mathrm{\alpha }}^2\right)\mathrm{I}\\ =21A+\mathrm{\beta I}\\ 27+6\mathrm{\alpha }=21,9\mathrm{\alpha }+{\mathrm{\alpha }}^2=\mathrm{\beta }\\ 6\mathrm{\alpha }=-6,-9+1=\mathrm{\beta }\\ \boxed{\mathrm{\alpha }=-1}\boxed{\mathrm{\beta }=-8}\end{array}$