Let ${\left\{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\right\}}_{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}$ be a sequence such that $a_0=a_1=0$ and $a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+1$ for all $n\ge 0$
If $\mathrm{S}=\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }} \frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}}{7^{\mathrm{n}}}$ then the value of $216 \mathrm{S}$ is equal to

$\mathrm{S}=\frac{7}{6^3}=\frac{7}{216}$
Alternate
$\begin{array}{l}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+2}=2{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+1}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}+1\Rightarrow \frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+2}}{7^{\mathrm{n}+2}}=\frac{2{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+1}}{{77}^{\mathrm{n}+1}}-\frac{1}{49}\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}}{7^{\mathrm{n}}}+\frac{1}{7^{\mathrm{n}+2}}\\ \Rightarrow \sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }} \frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+2}}{7^{\mathrm{n}+2}}=\frac{2}{7}\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }} \frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+1}}{7^{\mathrm{n}+1}}-\frac{1}{49}\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }} \frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}}{7^{\mathrm{n}}}+\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }} \frac{1}{7^{\mathrm{n}+2}}\\ \text{ Let }\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }} \frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}}{7^{\mathrm{n}}}=\mathrm{P}\\ \Rightarrow \left(\mathrm{p}-\frac{{\mathrm{a}}_2}{7^2}-\frac{{\mathrm{a}}_3}{7^3}\right)=\frac{2}{7}\left(\mathrm{p}-\frac{{\mathrm{a}}_2}{7^2}\right)-\frac{1}{49}\mathrm{p}+\frac{1/7^4}{1-\frac{1}{7}}\end{array}$