Let $\mathrm{f}:\mathrm{ℝ}-\{2,6\}\to \mathrm{ℝ}$ be real valued function defined as $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+12}$. Then  range of $\mathrm{f}$ is 

Let $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+12}=\mathrm{y}(\mathrm{x}\ne 2,\mathrm{x}\ne 6)$
${\mathrm{x}}^2(\mathrm{y}-1)-2\mathrm{x}(4\mathrm{y}+1)+(12\mathrm{y}-1)=0,\text{ but }\mathrm{x}\in \mathrm{R}$
So, ${\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}\ge 04(4\mathrm{y}+1{)}^2-4(\mathrm{y}-1\left)\right(12\mathrm{y}-1)\ge 0$

$16{\mathrm{y}}^2+1+8\mathrm{y}-\left(12{\mathrm{y}}^2-13\mathrm{y}+1\right)\ge 0\Rightarrow 4{\mathrm{y}}^2+21\mathrm{y}\ge 0$

$\mathrm{y}(4\mathrm{y}+21)\ge 0$
$\mathrm{y}\in \left(-\mathrm{\infty },-\frac{21}{4}\right]\cup [0,\mathrm{\infty })$