Let $f:A\to B$ be a bijection. Then show that $fo{f}_{ }^{-1}=I_B\text{ and }{f}^{-1}of=I_A$ 

Given $f:A\to B$ is bijection 

Then $f^{-1}:B\to A$ is also bijection

To prove $f^{-1}of=I_A:$

$f:A\to B\text{ and }{f}^{-1}:B\to A\Rightarrow f^{-1}\mathit{\text{of}}:A\to A$

Clearly$I_A:A\to A$

$\therefore f^{-1}of$ and $I_A$ have same domain A 

Let $a\in A,$since $f^{-1}:B\to A$ is onto, then there 

exists $b\in B$ such that $f^{-1}\left(b\right)=a\Rightarrow f\left(a\right)=b$

$\therefore \left(f^{-1}\mathit{\text{of }}\right)\left(a\right)=f^{-1}\left(f\right(a\left)\right)$

                       $=f^{-1}\left(b\right)=a=I_A\left(a\right)$

$\therefore f^{-1}\mathit{\text{of }}=I_A$

To Prove ${\mathit{\text{fof }}}^{\mathit{-}\mathit{1}}=I_B\text{ : }$

$f^{-1}:B\to A\text{ and }f:A\to B\Rightarrow fo{f}_{ }^{-1}:B\to B$

 Clearly $I_B:B\to B$

$\therefore fo{f}^{-1}$ and $I_B$ have same domain B

Let $b\in B,$$\sin ce$ $f:A\to B$ is onto ,then there

exists $a\in A$ such that $f\left(a\right)=b\Rightarrow f^{-1}\left(b\right)=a$

$\therefore \left(fo{f}^{-1}\right)\left(b\right)=f\left(f^{-1}\left(b\right)\right)$

                        $=f\left(a\right)=b=I_B\left(b\right)$

$\mathit{\therefore }{\mathit{\text{ fof }}}^{\mathit{-}\mathit{1}}\mathit{=}{I}_{\mathit{B}}$