Let $\mathrm{f}:\mathrm{R}\to \mathrm{R}$ be a continuous function satisfying $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{k})=\mathrm{n}$, for all $\mathrm{x}\in \mathrm{R}$ where k > 0 and n i a positive integer. If ${\mathrm{I}}_1={\int }_0^{4\mathrm{nk}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\text{ and }{\mathrm{I}}_2={\int }_{-\mathrm{k}}^{3\mathrm{k}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$, then :

$\begin{array}{l}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{k})=\mathrm{n}\\ \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{k})+\mathrm{f}(\mathrm{x}+2\mathrm{k})=\mathrm{n}\\ subtract we will get ,\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}(\mathrm{x}+2\mathrm{k})\end{array}$

f(x) is periodic with period 2k

$\begin{array}{l}{\mathrm{I}}_1={\int }_0^{4\mathrm{nk}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=2\mathrm{n}{\int }_0^{2\mathrm{k}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\\ {\mathrm{I}}_2={\int }_{-\mathrm{k}}^{3\mathrm{k}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=2{\int }_0^{2\mathrm{k}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\end{array}$

Now,

$\begin{array}{l}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{k})=\mathrm{n}\\ \Rightarrow {\int }_0^{\mathrm{k}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}+{\int }_0^{\mathrm{k}} \mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{k})\mathrm{dx}=\mathrm{nk}\\ \Rightarrow {\int }_0^{\mathrm{k}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}+{\int }_{\mathrm{k}}^{2\mathrm{k}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{nk}\\ \Rightarrow {\int }_0^{2\mathrm{k}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{nk}\\ \Rightarrow {\mathrm{I}}_1=2{\mathrm{n}}^2\mathrm{k},{\mathrm{I}}_2=2\mathrm{nk}\\ \Rightarrow {\mathrm{I}}_1+{\mathrm{nI}}_2=4{\mathrm{n}}^2\mathrm{k}\end{array}$