Let $\mathrm{f}:\mathrm{R}\to \mathrm{R}$ be a function defined by $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^3-21{\mathrm{x}}^2+78\mathrm{x}+24$. Number of integers in the solution set of x satisfying the inequality $\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-2{\mathrm{x}}^3\right)\right)\ge \mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(2{\mathrm{x}}^3-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right) \mathrm{is}$

$\begin{array}{l}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^3-21{\mathrm{x}}^2+78\mathrm{x}+24\\ {\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)=6\left({\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}+13\right)\Rightarrow {\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)>0\mathrm{\forall }\mathrm{x}\in \mathrm{R}\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) is increa\sin g function\end{array}$

Now, $\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-2{\mathrm{x}}^3\right)\right)\ge \mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(2{\mathrm{x}}^3-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right)$
$\begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-2{\mathrm{x}}^3\right)\ge \mathrm{f}\left(2{\mathrm{x}}^3-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-2{\mathrm{x}}^3\ge 2{\mathrm{x}}^3-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ge 2{\mathrm{x}}^3\Rightarrow 7{\mathrm{x}}^2-26\mathrm{x}-8\le 0\Rightarrow \mathrm{x}\in \left[-\frac{2}{7},4\right]\end{array}$