Let $f\left(x\right)=\left(ax+b\right)\cos x+\left(cx+d\right)\sin x$ and $f\text{'}\left(x\right)=x\cos x$ be an identity in x, then

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=(\mathrm{ax}+\mathrm{b})\cos \mathrm{x}+(\mathrm{cx}+\mathrm{d})\sin \mathrm{x}+\mathrm{c} \sin \mathrm{x}+(\mathrm{cx}+\mathrm{d}) \cos \mathrm{x} \\ =\mathrm{cx} \cos \mathrm{x}+(\mathrm{a}+\mathrm{d})\cos \mathrm{x}-\mathrm{a} \mathrm{x} \sin \mathrm{x}+(\mathrm{c}-\mathrm{d})\sin \mathrm{x} \\ {\mathrm{f}}^1\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x} \mathrm{cosx} \\ \mathrm{c}=1, \mathrm{a}+\mathrm{d}=0, \mathrm{a}=0. \mathrm{c}-\mathrm{b}=0 \Rightarrow \mathrm{b}=1 \end{gathered}$$