Let $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\frac{{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{-1/\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{-1/\mathrm{x}}}$, where g is a continuous function then $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ exist if

$\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{lim} \frac{{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{-1/\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{-1/\mathrm{x}}}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{lim} \frac{1-{\mathrm{e}}^{-2/\mathrm{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{-2/\mathrm{x}}}=1\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{lim} \frac{{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{-1/\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{-1/\mathrm{x}}}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{lim} \frac{{\mathrm{e}}^{2/\mathrm{x}}-1}{{\mathrm{e}}^{2/\mathrm{x}}+1}=-1$
Hence $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{ exists if }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{xh}\left(\mathrm{x}\right)$
Where h(x) is a continuous function. If $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}(\mathrm{a}\ne 0)$ then 
$\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{lim} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a},\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{lim} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-\mathrm{a}$. Thus $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ does not exist if $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+2$ or ${\mathrm{x}}^2+4$ or is a constant function.