Let $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+\frac{\mathrm{a}}{{\mathrm{\pi }}^2-4}\sin \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{{\mathrm{\pi }}^2-4}\cos \mathrm{x},\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ be a function which satisfies $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+{\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} \sin (\mathrm{x}+\mathrm{y})\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{dy}$. Then $\left(a+b\right)$is equal to

$\begin{array}{l}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+{\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} (\sin \mathrm{xcos}\mathrm{y}+\cos \mathrm{xsin}\mathrm{y})\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{dy}\\ =\mathrm{x}+\sin \mathrm{x}\cdot {\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} \cos \mathrm{yf}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{dy}+\cos \mathrm{x}{\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} \sin \mathrm{yf}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{dy}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+\mathrm{Asin}\mathrm{x}+\mathrm{Bcos}\mathrm{x}\\ \mathrm{A}={\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} \cos \mathrm{yf}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{dy}\\ ={\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} \cos \mathrm{y}(\mathrm{y}+\mathrm{Asin}\mathrm{y}+\mathrm{Bcos}\mathrm{y})\mathrm{dy}\\ {\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} \mathrm{ycos}\mathrm{ydy}+\mathrm{A}{\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} \sin \mathrm{ycos}\mathrm{ydy}+\mathrm{B}{\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} {\cos }^2\mathrm{ydy}\\ \mathrm{A}={\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} \mathrm{y}\cdot \cos \mathrm{ydy}+\frac{\mathrm{A}}{2}{\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} \sin 2\mathrm{y}+\mathrm{B}{\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} {\cos }^2\mathrm{ydy}\\ \mathrm{A}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-1+\frac{\mathrm{A}}{2}+\mathrm{B}\frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ \frac{\mathrm{A}}{2}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-1+\frac{\mathrm{B}}{4}\mathrm{\pi }\\ \mathrm{A}=\mathrm{\pi }-2+\frac{\mathrm{B}}{2}\mathrm{\pi }\end{array}$
$\begin{array}{l}\mathrm{B}={\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} \sin \mathrm{yf}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{dy}\\ ={\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} \sin \mathrm{y}(\mathrm{y}+\mathrm{Asin}\mathrm{y}+\mathrm{Bcos}\mathrm{y})\\ ={\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} \left(\mathrm{ysin}\mathrm{y}+{\mathrm{Asin}}^2\mathrm{y}+\frac{\mathrm{B}}{2}\sin 2\mathrm{y}\right)\mathrm{dy}\\ =1+\mathrm{A}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\frac{\mathrm{B}}{2}\left(1\right)\\ \frac{\mathrm{B}}{2}=1+\mathrm{A}\cdot \frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ \mathrm{B}=2+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\mathrm{A}\\ \mathrm{A}=\mathrm{\pi }-2+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\left(2+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\mathrm{A}\right)\end{array}$
$\begin{array}{l}=\mathrm{\pi }-2+\mathrm{\pi }+\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}\mathrm{A}\\ \left(1-\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}\right)\mathrm{A}=2\mathrm{\pi }-2\Rightarrow \mathrm{A}=\frac{2(\mathrm{\pi }-1)}{\left(4-{\mathrm{\pi }}^2\right)/4}\\ \mathrm{A}=\frac{8(\mathrm{\pi }-1)}{4-{\mathrm{\pi }}^2}\\ \mathrm{B}=2+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\left(\frac{8(\mathrm{\pi }-1)}{4-{\mathrm{\pi }}^2}\right)\\ =\frac{2\left(4-{\mathrm{\pi }}^2\right)+4{\mathrm{\pi }}^2-4\mathrm{\pi }}{4-{\mathrm{\pi }}^2}\\ =\frac{8+2{\mathrm{\pi }}^2-4\mathrm{\pi }}{4-{\mathrm{\pi }}^2}\\ \frac{4\mathrm{\pi }-8-2{\mathrm{\pi }}^2}{{\mathrm{\pi }}^2-4}\\ \mathrm{a}=-8(\mathrm{\pi }-1)=-8\mathrm{\pi }+8,\mathrm{b}=4\mathrm{\pi }-8-2{\mathrm{\pi }}^2\\ \mathrm{a}+\mathrm{b}=-4\mathrm{\pi }-2{\mathrm{\pi }}^2\\ =-2\mathrm{\pi }(\mathrm{\pi }+2)\end{array}$