Let $\mathrm{\beta }=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \frac{\mathrm{\alpha x}-\left({\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}}-1\right)}{\mathrm{\alpha x}\left({\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}}-1\right)}$ for some $\mathrm{\alpha }\in \mathrm{ℝ}$. Then the value of $\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta }$ is :

$\mathrm{\beta }=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \frac{\mathrm{\alpha x}-\left({\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}}-1\right)}{\mathrm{\alpha x}\left({\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}}-1\right)}$

$\begin{array}{l}\mathrm{\beta }=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \frac{1+\mathrm{\alpha x}-\left[1+3\mathrm{x}+\frac{9{\mathrm{x}}^2}{2!}+\dots ..\right]}{\left(\mathrm{\alpha x}\right)\frac{\left({\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}}-1\right)}{3\mathrm{x}}3\mathrm{x}}\\ \mathrm{\beta }=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim} \frac{(\mathrm{\alpha x}-3\mathrm{x})-\frac{9{\mathrm{x}}^2}{2!}-\dots \dots }{3{\mathrm{\alpha x}}^2}\end{array}$

For existence of limit $\mathrm{\alpha }-3=0$

$\mathrm{\alpha }=3$

Limit $\mathrm{\beta }=\frac{-3}{2\mathrm{\alpha }}$

$\mathrm{\beta }=-\frac{1}{2}$

Now, 

$\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta }=\frac{5}{2}$