Let $P\left(S\right)$ denote the power set of $\mathrm{S}=\{1,2,3,\dots \dots ,10\}$. Define the relations $R_1$ and $R_2$on $P\left(S\right)$ as $A{R}_{1}B$ if $\left(\mathrm{A}\cap {\mathrm{B}}^{\mathrm{C}}\right)\cup \left(\mathrm{B}\cap {\mathrm{A}}^{\mathrm{C}}\right)=\mathrm{\varphi }$ and ${\mathrm{AR}}_2\mathrm{B}\text{ if }\mathrm{A}\cup {\mathrm{B}}^{\mathrm{C}}=\mathrm{B}\cup {\mathrm{A}}^{\mathrm{C}},\mathrm{\forall }\mathrm{A},\mathrm{B}\in \mathrm{P}\left(\mathrm{S}\right)$. Then :

${\mathrm{AR}}_1\mathrm{B}\Rightarrow \left(\mathrm{A}\cap {\mathrm{B}}^{\mathrm{C}}\right)\cup \left(\mathrm{B}\cap {\mathrm{A}}^{\mathrm{C}}\right)=\mathrm{\varphi }$
(i) for reflexive ${\mathrm{AR}}_1\mathrm{A}$ 
$\Rightarrow \left(\mathrm{A}\cap {\mathrm{A}}^{\mathrm{C}}\right)\cup \left(\mathrm{A}\cap {\mathrm{A}}^{\mathrm{C}}\right)=\mathrm{\varphi }\cup \mathrm{\varphi }=\mathrm{\varphi }$
(ii) symmetric
$\begin{array}{l}{\mathrm{AR}}_1\mathrm{B}\Rightarrow {\mathrm{BR}}_1\mathrm{A}\\ \Rightarrow \left(\mathrm{A}\cap {\mathrm{B}}^{\mathrm{C}}\right)\cup \left(\mathrm{B}\cap {\mathrm{A}}^{\mathrm{C}}\right)=\mathrm{\varphi }\Rightarrow {\mathrm{AR}}_1\mathrm{B}\\ \Rightarrow \left(\mathrm{B}\cap {\mathrm{A}}^{\mathrm{C}}\right)\cup \left(\mathrm{A}\cap {\mathrm{B}}^{\mathrm{C}}\right)=\mathrm{\varphi }\Rightarrow {\mathrm{BR}}_1\mathrm{A}\end{array}$
$\therefore$It is symmetric
(iii) Transitive
$\begin{array}{l}{\mathrm{AR}}_1\mathrm{B}\Rightarrow \left(\mathrm{A}\cap {\mathrm{B}}^{\mathrm{C}}\right)\cup \left(\mathrm{B}\cap {\mathrm{A}}^{\mathrm{C}}\right)=\mathrm{\varphi }\\ {\mathrm{BR}}_1\mathrm{C}\Rightarrow \left(\mathrm{B}\cap {\mathrm{C}}^{\mathrm{C}}\right)\cup \left(\mathrm{C}\cap {\mathrm{B}}^{\mathrm{C}}\right)=\mathrm{\varphi }\\ \Rightarrow \mathrm{A}\cap {\mathrm{B}}^{\mathrm{C}}=\mathrm{\varphi }\mathrm{\&}\mathrm{B}\cap {\mathrm{A}}^{\mathrm{C}}=\mathrm{\varphi }\\ \mathrm{B}\cap {\mathrm{C}}^{\mathrm{C}}=\mathrm{\varphi }\mathrm{\&}\mathrm{C}\cap {\mathrm{B}}^{\mathrm{C}}=\mathrm{\varphi }\\ \Rightarrow \mathrm{A}\cap {\mathrm{C}}^{\mathrm{C}}=\mathrm{\varphi }\mathrm{\&}\mathrm{C}\cap {\mathrm{A}}^{\mathrm{C}}=\mathrm{\varphi }\end{array}$
$\therefore$$R_1$is transitive
$\therefore$$R_1$ is equivalence relation.
$\begin{array}{l}{\mathrm{R}}_2:{\mathrm{AR}}_2\mathrm{B}\Rightarrow \mathrm{A}\cup {\mathrm{B}}^{\mathrm{C}}=\mathrm{B}\cup {\mathrm{A}}^{\mathrm{C}}\\ \mathrm{A}\cup {\mathrm{B}}^{\mathrm{C}}=\mathrm{\mu }-(\mathrm{B}-\mathrm{A})\end{array}$
Similarly $\mathrm{B}\cup {\mathrm{A}}^{\mathrm{C}}=\mathrm{\mu }-(\mathrm{A}-\mathrm{B})$

If ${\mathrm{AR}}_2\mathrm{B}\Rightarrow \mathrm{A}-\mathrm{B}=\mathrm{B}-\mathrm{A}$
i) Reflexive A – A = A – A
ii) Symmetric
$\begin{array}{r}{\mathrm{AR}}_2\mathrm{B}\Rightarrow \mathrm{A}-\mathrm{B}=\mathrm{B}-\mathrm{A}\\ {\mathrm{BR}}_2\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}-\mathrm{A}=\mathrm{A}-\mathrm{B}\end{array}$
iii) Transitive
${\mathrm{AR}}_2\mathrm{B}\Rightarrow \mathrm{A}-\mathrm{B}=\mathrm{B}-\mathrm{A} ...\left(1\right)$
and ${\mathrm{BR}}_2\mathrm{C}\Rightarrow \mathrm{B}-\mathrm{C}=\mathrm{C}-\mathrm{B} .....\left(2\right)$
$\begin{array}{r}\text{ (1) }+\text{ (2) }\Rightarrow \mathrm{A}-\mathrm{C}=\mathrm{C}-\mathrm{A}\\ \Rightarrow {\mathrm{AR}}_2\mathrm{C}\Rightarrow {\mathrm{CR}}_2\mathrm{A}\end{array}$
$\therefore$ R₂ is also equivalence