Let $\overline{\mathrm{r}}$ be a vector perpendicular to $\overline{\mathrm{a}} + \overline{\mathrm{b}} + \overline{\mathrm{c}} .$

If    $\overline{\mathrm{r}}=\mathcal{l}(\overline{\mathrm{b}}\times \overline{\mathrm{c}}) + \mathrm{m}(\overline{\mathrm{c}}\times \overline{\mathrm{a}}) + \mathrm{n}(\overline{\mathrm{a}}\times \overline{\mathrm{b}})$ then $\mathcal{l}+\mathrm{m}+\mathrm{n}$ is

$$\begin{gathered} \overline{\mathrm{r}}·(\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}})=0 \Rightarrow \overline{\mathrm{r}} ·\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{r}}·\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{r}}·\overline{\mathrm{c}}=0 \\ \begin{array}{c}\overline{\mathrm{r}}·\overline{\mathrm{a}}=\mathrm{l} [\overline{\mathrm{a}} \overline{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{c}}]\\ \overline{\mathrm{r}}·\overline{\mathrm{b}}=\mathrm{m} [\overline{\mathrm{a}} \overline{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{c}}]\\ \overline{\mathrm{r}}·\overline{\mathrm{c}}=\mathrm{n} [\overline{\mathrm{a}} \overline{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{c}}]\end{array} \overline{) \begin{array}{c}\overline{\mathrm{r}}·\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{r}}·\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{r}}·\overline{\mathrm{c}}\\ =(\mathrm{l}+\mathrm{m}+\mathrm{n}) [\overline{\mathrm{a}} \overline{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{c}}]\\ \mathrm{l}+\mathrm{m}+\mathrm{n}=0\end{array}} \end{gathered}$$