$$\begin{gathered} \mathrm{Let} \frac{\sin \mathrm{A}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{\sin \left(\mathrm{A}-\mathrm{C}\right)}{\sin \left(\mathrm{C}-\mathrm{B}\right)}, \mathrm{where} \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C} \mathrm{are} \mathrm{angles} \mathrm{of} \mathrm{a} \mathrm{triangle} \mathrm{ABC}. \\ \mathrm{If} \mathrm{the} \mathrm{lengths} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{sides} \mathrm{opposite} \mathrm{to} \mathrm{these} \mathrm{angles} \mathrm{are} \\ \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \mathrm{respectively}, \mathrm{then} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{We} \mathrm{have} \frac{\sin \mathrm{A}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{\sin \left(\mathrm{A}-\mathrm{C}\right)}{\sin \left(\mathrm{C}-\mathrm{B}\right)} \\ \Rightarrow \frac{\sin \mathrm{A}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{\sin \mathrm{A}. \cos \mathrm{C}-\cos \mathrm{A}, \sin \mathrm{C}}{\mathrm{sinC}.\mathrm{cosB}-\mathrm{cosC}.\sin \mathrm{B}}\Rightarrow \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}= \\ \frac{\mathrm{a}\left({\displaystyle \frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2}{\mathrm{ab}}}\right)-\left({\displaystyle \frac{{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{a}}^2}{2\mathrm{bc}}}\right).\mathrm{c}}{\mathrm{c}\left({\displaystyle \frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{b}}^2}{2\mathrm{ac}}}\right)-\left({\displaystyle \frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2}{2\mathrm{ab}}}\right).\mathrm{b}} \\ \mathrm{Using} \mathrm{sine} \mathrm{and} \mathrm{cosine} \mathrm{rule} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\left[\frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{a}}^2}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2}\right] \\ \Rightarrow {\mathrm{c}}^2-{\mathrm{b}}^2={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{c}}^2\Rightarrow 2{\mathrm{c}}^2={\mathrm{b}}^2+{\mathrm{a}}^2\Rightarrow {\mathrm{b}}^2, {\mathrm{c}}^2, {\mathrm{a}}^2 \mathrm{are} \mathrm{in} \mathrm{A}.\mathrm{P}. \end{gathered}$$