Let $\mathrm{S}=\left\{\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)\in {\mathrm{R}}^2:\frac{{\mathrm{y}}^2}{1+\mathrm{r}}-\frac{{\mathrm{x}}^2}{1-\mathrm{r}}=1\right\},$ where $\mathrm{r}\ne \pm 1.$ Then S represents

$$\begin{gathered} \mathrm{Given} \mathrm{S}=\left\{(\mathrm{x}, \mathrm{y})\in {\mathrm{R}}^2: \frac{{\mathrm{y}}^2}{1+\mathrm{r}}-\frac{{\mathrm{x}}^2}{1-\mathrm{r}}=1\right\} \mathrm{whe}re \mathrm{r}\ne \pm 1 \\ \mathrm{Suppose} \mathrm{if} \mathrm{r}>1 \mathrm{then} \frac{{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{r}-1}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{1+\mathrm{r}}=1 (\because \mathrm{r}-1>0) \\ \mathrm{It} \mathrm{represents} \mathrm{ellipse} \mathrm{where} \mathrm{a}<\mathrm{b} \\ \mathrm{Now} \mathrm{e}=\sqrt{1-\frac{(\mathrm{r}-1)}{1+\mathrm{r}}} \\ =\sqrt{\frac{1+\mathrm{r}-\mathrm{r}+1}{1+\mathrm{r}}} =\sqrt{\frac{2}{1+\mathrm{r}}} \\ 0<\mathrm{r}<1 \mathrm{then} \\ \mathrm{Given} \mathrm{equation} \frac{{\mathrm{y}}^2}{\mathrm{r}+1}-\frac{{\mathrm{x}}^2}{1-\mathrm{r}}=1 \\ \Rightarrow \frac{{\mathrm{x}}^2}{1-\mathrm{r}}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{\mathrm{r}+1}=-1, \mathrm{it} \mathrm{is} \mathrm{conjugate} \mathrm{hyperbola} \\ \mathrm{Now} \mathrm{e}=\sqrt{1+\frac{1-\mathrm{r}}{\mathrm{r}+1}} \\ =\sqrt{\frac{\mathrm{r}+1+1-\mathrm{r}}{\mathrm{r}+1}} \\ =\sqrt{\frac{2}{\mathrm{r}+1}} \end{gathered}$$