Let $\text{⨍ (x)=a+b}\left|\mathrm{x}\right|\text{+c}{\left|\mathrm{x}\right|}^4\text{,}$ where $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ and $\mathrm{c}$ are real constants, Then $\text{⨍ (x)}$ is differentiable at $\mathrm{x}=0$ if

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}+\mathrm{b}\left|\mathrm{x}\right|+\mathrm{c}{\left|\mathrm{x}\right|}^4 \\ =\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}-\mathrm{bx}+{\mathrm{cx}}^4 ; \mathrm{x}<0\\ \mathrm{a}+\mathrm{bx}+{\mathrm{cx}}^4 ; \mathrm{x}\ge 0\end{array}\right. \\ \underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(0\right)=\mathrm{a} \end{gathered}$$

f is continuous

$$\begin{gathered} {\mathrm{f}}^1\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}-\mathrm{b}+4{\mathrm{cx}}^3 ; \mathrm{x}<0\\ \mathrm{b}+4{\mathrm{cx}}^3 ; \mathrm{x}>0\end{array}\right. \\ {\mathrm{f}}^1\left(0^{-}\right)=-\mathrm{b}, {\mathrm{f}}^1\left(0^{+}\right)=\mathrm{b} \\ \mathrm{f} \mathrm{is} \mathrm{differentiable} \mathrm{at} \mathrm{x}=0 \mathrm{if} \mathrm{b}=-\mathrm{b} \\ \Rightarrow \mathrm{b}=0 \end{gathered}$$