Let $\mathrm{\alpha x}=\exp \left({\mathrm{x}}^{\mathrm{\beta }}{\mathrm{y}}^{\mathrm{\gamma }}\right)$ be the solution of the differential equation $2{\mathrm{x}}^2\mathrm{ydy}-\left(1-{\mathrm{xy}}^2\right)\mathrm{dx}=0, \mathrm{x}>0, \mathrm{y}\left(2\right)=\sqrt{{\log }_{\mathrm{e}}2}$. Then $\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta }-\mathrm{\gamma }$ equals :

$\begin{array}{l}2{\mathrm{x}}^2\cdot \mathrm{y}\cdot \mathrm{dy}-\left(1-{\mathrm{xy}}^2\right)\mathrm{dx}=0\\ \Rightarrow 2{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}\cdot \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-1+{\mathrm{xy}}^2=0\\ \Rightarrow 2\mathrm{y}\cdot \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{1}{\mathrm{x}}\cdot {\mathrm{y}}^2=\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\end{array}$
Let ${\mathrm{y}}^2=\mathrm{t}$
$\Rightarrow 2\mathrm{y}\cdot \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}$
$\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}+\frac{1}{\mathrm{x}}.\mathrm{t}=\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}$ is linear in “t”
I.F $={\mathrm{e}}^{\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}}={\mathrm{e}}^{\ln \mathrm{x}}=\mathrm{x}$
General solution $\mathrm{t}.\left(\mathrm{x}\right)=\int \mathrm{x}\cdot \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\mathrm{dx}$
$\Rightarrow {\mathrm{y}}^2\cdot \mathrm{x}=\ln \mathrm{x}+\mathrm{c}$
Sub $\mathrm{x}=2,\mathrm{y}=\sqrt{{\log }_{\mathrm{e}}^2}$
$\begin{array}{l}(\ln 2)2=\ln 2+\mathrm{c}\\ \Rightarrow \mathrm{c}=\ln 2\\ \therefore {\mathrm{y}}^2\cdot \mathrm{x}=\ln \mathrm{x}+\ln 2\\ {\mathrm{y}}^2\cdot \mathrm{x}=\ln 2\mathrm{x}\\ \Rightarrow {\mathrm{e}}^{{\mathrm{y}}^2\cdot \mathrm{x}}=2\mathrm{x}\\ \therefore \mathrm{\alpha }=2,\mathrm{\beta }=1,\mathrm{\gamma }=2\\ \mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta }-\mathrm{\gamma }=2+1-2=1\end{array}$